En la página 321 de la edición 10ª del libro "Química General" de Petrucci et al. dice:
"Para una caja monodimensional de 150 pm de longitud ¿Cual es la probabilidad de encontrar un electrón, expresada en procentaje, entre 0 pm y 30 pm, en el nivel n=5?"
El resultado que da es 25% ¿Estáis de acuerdo?
Hola!
ResponderEliminarYo me he planteado el problema de esta manera, lo que creo es que no se hace así. Así que me gustaría que si alguien lo sabe hacer que lo corrija.
Lo primero de todo yo calculo la ecuación de shcrodiger para el electrón que está en la caja en el nivel 5 entre 0 y 30 pm donde la longitud total de la caja es 150 pm.
Sabemos que la resolución para la ecuación es :
φ(x)=(2/L)^(1/2)*Sen(nπx/L)
φ(x)=(2/(150*〖10〗^(-12) ))^(1/2)*Sen (〖5*π*30*10〗^(-12)/(150*〖10〗^(-12)@))=6328,18
Y ahora calculamos la ecuación de schrodinger para toda la distancia de la caja 150pm
φ(x)=(2/L)^(1/2)*Sen(nπx/L)
φ(x)=(2/(150*〖10〗^(-12) ))^(1/2)*Sen (〖5*π*150*10〗^(-12)/(150*〖10〗^(-12)@))=31261,69
Si en toda la caja la probabilidad de encontrar el electrón es de 31261,69, entre 0 y 30 pm es de 20 % según mis cálculos.
Aunque el resultado final, 20%, es correcto, el razonamiento que utilizas para llegar a esa conclusión no es aceptable.
EliminarNUNCA se puede utilizar la función de onda para realizar el cálculo de un valor de probabilidad. SIEMPRE hay que utilizar el cuadrado de la función de onda, o sea la FUNCION DENSIDAD DE PROBABILIDAD
No entiendo que es el resultado de 6328'18, y tampoco el resultado de 31261.69, ya que en ambos casos se parte de la misma función y el valor de la función cuando x=30 pm debe dar cero. Es un punto nodal
Yo no entiendo muy bien la resolución que ha hecho Darina, aunque posiblemente esté bien. Por mi parte, he intentado resolverlo utilizando la ecuación de probabilidad (P) de encontrar la partícula entre un punto a y b.
ResponderEliminarP =∫_0^30〖ψ^2 (x)dx〗
(los valores de integración 0 y 30 corresponden a las unidades de pm)
donde ψn(x) = √(2/L) • sin((n π x)/L)
n=5 L= 150pm =1’5•10^-10m
Aun así, el resultado que me da no tiene nada que ver con el que toca, puede que no sea éste el método de sacarlo.
El razonamiento que haces es correcto y tienes que integrar la función densidad de probabilidad entre 0 y 30, tal como planteas.
EliminarSupongo que tu problema es el cálculo de la integral
La función que integras es (2/L).sen^2(5*pi*x/L)
El resultado debe darte 0,20
Según la definición, debería ser la integral definida entre 0 y 30*10^-12 de la función de onda al cuadrado. No obstante, queda una integral con sin^2, bastante complicada... Debemos saber resolver esa integral¿? Gracias!
ResponderEliminarAcabo de intentarlo integrando y me sale 0.2, es decir 20% y no 25 %
EliminarUna integral del sen^2 se resuelve por partes. También podéis ir a un libro de tablas de solución de integrales y obtener la función primitiva de la que estáis integrando.
EliminarNo obstante, os propongo hacerlo de forma estimada.
si n=5, la función de onda total tiene en ese estado, 4 nodos, y 2 ondas completas y media. Es decir si n=5 en la longitud total de la caja "caben" 5 "media onda" la anchura de esta "media onda" son 30 pm, ya que 150/5= 30.
Puesto que la función de onda de una partícula en una caja es totalmente simétrica, la probabilidad de encontrar a la partícula entre 0 y 30 es la misma que entre 30 y 60, igual que entre 60 y 90, igual que entre 90 y 120, igual que entre 120 y 150. Como la probabilidad total es 1, la probabilidad en cada tramo es 1/5= 0,20; es decir la probabilidad es un 20%.
La solución que da el libro no es correcta, es una errata.
No obstante, os animo a hacer el cálculo de la integral. Será un útil ejercicio de matemáticas